Gerak 2 dan 3 dimensi beserta contoh soal

Kinematika 

Dalam fisika, kinematika adalah cabang dari mekanika klasik yang membahas gerak benda dan sistem benda tanpa mempersoalkan gaya penyebab gerakan.^[1][2][3] Kata kinematika dicetuskan oleh fisikawan Perancis A.M. Ampère cinématique^[4] yang ia ambil dari Yunani Kuno κίνημα, kinema (gerak), diturunkan dari κινεῖν, kinein.^{[5] [6]} Hal terakhir ini berbeda dari dinamika atau sering disebut dengan Kinetika, yang mempersoalkan gaya yang memengaruhi gerakan.
Studi mengenai kinematika biasa disebut juga sebagai geometri gerak.^[7]

Kinematika dari benda bergerak

Besaran kinematika untuk partikel klasik: massa m, posisi r, kecepatan v, percepatan a.

Kinematika partikel adalah studi yang mempelajari karakteristik gerak suatu partikel. Posisi suatu partikel didefinisikan sebagai vektor koordinat dari awal titik acuan ke partikel. Sebagai contoh, anggaplah ada sebuah menara setinggi 50 meter di sebelah selatan rumah anda, dimana titik acuannya adalah rumah anda, dengan timur sebagai sumbu-x dan utara sebagai sumbu-y, maka koordinat vektor menara tersebut adalah r=(0, -50, 0). Vektor koordinat di puncak menara adalah r=(0, -50, 50).
Dalam bentuk 3 dimensi, posisi titik P dapat dituliskan sebagai

dengan x_P, y_P, dan z_P adalah koordinat Kartesian dan i, j dan k adalah unit vektor yang mengikuti sumbu x, y, dan z. Besar dari vektor posisi |P| adalah jarak antara titik P dengan titik acuan, dapat dituliskan sebagai:

Trajektori dari sebuah partikel adalah fungsi vektor terhadap waktu, P(t), yang mendefinisikan kurva yang dibentuk dari partikel yang bergerak, yang akan memberikan persamaan

dengan koordinatx_P, y_P, dan z_P masing-masing adalah fungsi waktu.

Kecepatan dan kelajuan

Kecepatan sebuah partikel adalah vektor yang menunjukkan arah dan besar dari perubahan posisi vektor, bagaimana posisi sebuah benda berpindah tiap waktu. Anggap rasio perbedaan 2 posisi partikel dibagi dalam interval waktu sama, maka kecepatan rata-rata pada interval tersebut adalah

dengan ΔP adalah perubahan posisi vektor per selang waktu Δt.
Ketika limit ketika interval waktu Δt menjadi semakin kecil, maka kecepatan rata-rata menjadi turunan waktu dari posisi vektor:

Maka, kecepatan adalah besarnya perubahan posisi per satuan waktu.
Kelajuan dari suatu objek adalah besar |V| dari suatu kecepatan. Kelajuan merupakan besaran skalar:

dengan s adalah panjang jalur lintasan total yang ditempuh partikel. Kelajuan adalah besaran yang selalu bernilai positif.

Gerak Relatif

Dapat ditunjukkan dengan persamaan matematika vektor sederhana berikut yang memperlihatkan suatu penjumlahan vektor : gerak relatif terhadap sama dengan gerak relatif terhadap ditambah dengan gerak relatif terhadap  :

Gerakan Koordinat

Salah satu persamaan dasar dalam kinematika adalah persamaan yang menggambarkan tentang turunan dari sebuah vektor yang berada dalam suatu sumbu koordinat bergerak. Yaitu : turunan terhadap waktu dari sebuah vektor relatif terhadap suatu koordinat diam, sama dengan turunan terhadap waktu vektor tersebut relatif terhadap koordinat bergerak ditambah dengan hasil perkalian silang dari kecepatan sudut koordinat bergerak dengan vektor itu. Dalam bentuk persamaan :
dimana :
adalah sebuah vektor
adalah sebuah sumbu koordinat tetap / tak bergerak
adalah sebuah sumbu koordinat berputar
adalah kecepatan sudut perputaran koordinat

Sistem Koordinat

Sistem Koordinat Diam

Pada sistem koordinat ini, sebuah vektor digambarkan sebagai suatu penjumlahan dari vektor-vektor yang searah dengan sumbu , , atau . Umumnya adalah sebuah vektor satuan pada arah , adalah sebuah vektor satuan pada arah , dan adalah sebuah vektor satuan pada arah .
Vektor posisi (atau ), vektor kecepatan dan vektor percepatan , dalam sistem koordinat Kartesius digambarkan sebagai berikut :



catatan : ,

Sistem Koordinat Bergerak 2 Dimensi

Sistem koordinat ini hanya menggambarkan gerak bidang yang berbasis pada 3 vektor satuan orthogonal yaitu vektor satuan , dan vektor satuan sebagai sebuah bidang dimana suatu obyek benda berputar terletak/berada, dan sebagai sumbu putarnya.
Berbeda dengan sistem koordinat Kartesius di atas, dimana segala sesuatunya diukur relatif terhadap datum yang tetap dan diam tak berputar, datum dari koordinat-koordinat ini dapat berputar dan berpindah - mengikuti gerakan dari benda atau partikel pada suatu benda yang diamati. Hubungan antara koordinat diam dan koordinat berputar dan bergerak ini dapat dilihat lebih rinci pada Transformasi Orthogonal.

Soal dan Pembahasan Gerak dalam Dua dan Tiga Dimensi

1. Sebuah beruang berjalan ke timur laut sejauh 10 m dan kemudian ke timur 10 m. Tunjukkan jika tiap perpindahan secara grafik, dan cari vector perpindajhan resultan .

Jawab :

2.   (a) seseoran berjalan sepanjang sebuah busur lingkaran dari posisi x = 5 m, y = 0 m ke posisi akhir x = 0 m, y = 5 m. berapakah perpindahannya? (b) orang kedua dari posisi awal sama sepanjang sumbu x ke titik asal dan kemudian berjalan sepanjang sumbu y ke y = 5 m dan x = 0 m. Berapakah perpindahannya?

Jawab :

3. Sebuah lintasan melingkar mempunyai jari-jari 10 m. Sebuah sistem koordinat xy dibentuk sedemikian sehingga pusat lingkaran berada di sumbu y positif dan lingkaran melewati titik asal. Seorang perempuan berangkat dari titik asal dan berjalan mengelilingi lintasan itu dengan kelajuan konstan dan kembali ke titik asal tepat 1 menit setelah ia berangkat. (a) Cari besar dan arah perpindahannya dari titik asal pada saat 15, 20, 45 dan 60 s setelah ia berangkat. (b) Cari besar dan arah perpindahannya untuk masing-masing dari keempat selang 15 sberurutan dari perjalanannya. (c) Bagaimana perpindahannya untuk 15 s yang pertama dihubungkan dengan perpindahan untuk 15 s kedua. (d) Bagaimana perpindahannya untuk selang 15 s kedua dihubungkan dengan perpindahan untuk selang 15 s yang terakhir.

Jawab:

Diketahui : r = 10 m