Fisika Modern : Postulat Teori Relativitas Einstein, Transformasi Lorentz, Dilatasi Waktu, Kontraksi Panjang

Postulat Teori Relativitas Einstein, Transformasi Lorentz, Dilatasi Waktu, Kontraksi Panjang, Contoh Soal, Rumus, Jawaban, Fisika

Postulat Teori Relativitas Einstein, Transformasi Lorentz, Dilatasi Waktu, Kontraksi Panjang, Contoh Soal, Rumus, Jawaban, Fisika - Albert Einstein (1879 - 1955) mendasarkan teorinya pada dua postulat, dan semua kesimpulan mengenai relativitas khusus diturunkan dari kedua postulat tersebut.

a. Postulat Pertama

Postulat pertama menyatakan, “hukum fisika sama dalam semua kerangka inersia”. Postulat ini merupakan perluasan prinsip relativitas Newton untuk mencakup semua jenis pengukuran fisis (tidak hanya pengukuran mekanis).

b. Postulat Kedua

Postulat kedua berbunyi, “kelajuan cahaya adalah sama dalam semua kerangka inersia”. Postulat pertama dikemukakan karena tidak adanya acuan universal sebagai acuan mutlak. Sementara itu, postulat kedua memiliki implikasi yang sangat luas dengan kecepatan, panjang, waktu, dan massa benda yang semuanya bersifat relatif.

Postulat kedua menguraikan sifat sekutu semua gelombang. Misalnya, kecepatan bunyi tidak tergantung pada gerak sumber bunyi. Apabila mobil yang datang mendekat membunyikan klaksonnya, frekuensi yang terdengar akan meningkat sesuai dengan efek Doppler yang telah kita bahas pada materi sebelumnya, tetapi kecepatan gelombang yang merambat melalui udara tidak tergantung pada kecepatan mobilnya. Kecepatan gelombang hanya tergantung pada sifat udara, misalnya temperatur.

Massa suatu objek meningkat pesat ketika melaju mendekati kecepatan cahaya. Persamaan-persamaan Einstein meramal bahwa massa suatu objek akan membesar tak terhingga ketika melaju secepat cahaya. Pesawat yang melaju lebih cepat daripada cahaya mungkin hanya ada di dalam cerita fiksi.

1. Transformasi Lorentz

Transformasi Galileo hanya berlaku jika kecepatan-kecepatan yang digunakan tidak bersifat relativistik, yaitu jauh lebih kecil dari kecepatan cahaya, c. Sebagai contoh, pada persamaan 6 transformasi Galileo berlaku untuk kecepatan cahaya, karena cahaya yang bergerak di S' dengan kecepatan u_x' = c akan memiliki kecepatan c + v di S. Sesuai dengan teori relativitas bahwa kecepatan cahaya di S juga adalah c. Sehingga, diperlukan persamaan transformasi baru untuk bisa melibatkan kecepatan relativistik.

Berdasarkan teori relativitas, S' yang bergerak ke kanan relatif terhadap s ekivalen dengan S yang bergerak ke kiri relatif terhadap S'.

Gambar 1. Kerangka acuan S bergerak ke kanan dengan kecepatan v relatif terhadap kerangka S.

Berdasarkan Gambar 1, kita asumsikan transformasi bersifat linier dalam bentuk:

x = γ (x' + vt') .................................................. (1)

y = y' ................................................................(2)

z = z' ................................................................ (3)

Kita asumsikan bahwa y dan z tidak berubah karena diperkirakan tidak terjadi kontraksi panjang pada arah ini.

Persamaan invers harus memiliki bentuk yang sama di mana v diganti dengan -v, sehingga diperoleh:

x' = γ (x - vt) .................................................. (4)

Jika pulsa cahaya meninggalkan titik acuan S dan S' pada t = t' = 0, setelah waktu t menempuh sumbu x sejauh x = ct (di S ), atau x' = ct' (di S'). 

Jadi, dari persamaan (10.10):

c.t = γ (ct' + vt') = γ (c + v) t' ............................. (5)

c.t' = γ (ct - vt) = γ (c - v) t ................................ (6)

dengan mensubstitusikan t' persamaan (6) ke persamaan (5) akan diperoleh:

c.t = γ (c + v) γ (c - v)(t/c) = γ² (c² - v²) t/c

Dengan mengalikan 1/t pada tiap ruas diperoleh nilai γ :

Untuk menentukan hubungan t dan t', kita gabungkan persamaan (1) dan (4), sehingga diperoleh:

x' = γ (x - vt) = γ { γ (x' + vt') - vt}

Diperoleh nilai t = γ (t' + vx'/c²). Sehingga secara keseluruhan didapatkan:

yang menyatakan persamaan transformasi Lorentz. 

Untuk transformasi kecepatan relativistik dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan (6), yaitu:

Dengan cara yang sama maka disimpulkan:

Dengan adanya transformasi Lorentz, maka masalah perbedaan pengukuran panjang, massa, dan waktu, antara di Bumi dan di luar angkasa dapat terpecahkan. 

2. Dilatasi Waktu

Akibat penting postulat Einstein dan transformasi Lorentz adalah bahwa selang waktu antara dua kejadian yang terjadi pada tempat yang sama dalam suatu kerangka acuan selalu lebih singkat daripada selang waktu antara kejadian sama yang diukur dalam kerangka acuan lain yang kejadiannya terjadi pada tempat yang berbeda.

Pada dua kejadian yang terjadi di x₀' pada waktu t₁' dan t₂' dalam kerangka S ', kita dapat menentukan waktu t₁ dan t₂ untuk kejadian ini dalam kerangka S dari persamaan (9). Kita peroleh:

Sehingga, dari kedua persamaan tersebut diperoleh:

t₂ - t₁ = γ (t₂' – t₁') ............................................. (13)

Waktu di antara kejadian yang terjadi pada tempat yang sama dalam suatu kerangka acuan disebut waktu patut, tp. Dalam hal ini, selang waktu Δt_p = t₂' – t₁' yang diukur dalam kerangka S' adalah waktu patut. Selang waktu Δt yang diukur dalam kerangka sembarang lainnya selalu lebih lama dari waktu patut. Pemekaran waktu ini disebut dilatasi waktu, yang besarnya:

Δt = γ.Δt_p ..................................................... (14)

Sebelum melakukan perjalanan ke ruang antariksa, seorang astronaut memiliki laju detak jantung terukur 80 detak/menit. Ketika astronaut mengangkasa dengan kecepatan 0,8 c terhadap Bumi, berapakah laju detak jantung astronaut tersebut menurut pengamat di Bumi?

Penyelesaian:

Kecepatan astronaut terhadap Bumi:

v = 0,8 c

v/c = 0,8

γ dapat ditentukan dengan persamaan:

Waktu patut, Δt_p adalah selang waktu detak jantung astronaut yang terukur di Bumi. Jadi, Δt_p = 1 menit/80 detak.

Selang waktu relativistik, Δt adalah selang waktu detak jantung astronaut yang sedang mengangkasa diukur oleh pengamat di Bumi. Pemekaran waktu dihitung melalui persamaan (14):

Δt = γ . Δt_p = 10/6 (1menit/80 detak) = 1 menit/((6/10) x 80 detak) = 1 menit/48 detak.

Bola Kuarsa dan Jam Hidrogen Maser

Bola kwarsa. [1]

Bola kuarsa di bagian atas wadah tersebut mungkin merupakan benda paling bulat di dunia. Bola ini didesain untuk berputar sebagai giroskop dalam satelit yang mengorbit Bumi. Relativitas umum memperkirakan bahwa rotasi bumi akan menyebabkan sumbu rotasi giroskop untuk beralih secara melingkar pada laju 1 putaran dalam 100.000 tahun.

Jam maser Hidrogen. (Credit: Courtesy NASA/JPL-Caltech) [2]

Jam maser hidrogen yang teliti di atas diluncurkan dalam satelit pada 1976, dan waktunya dibandingkan dengan waktu jam yang identik di Bumi. Sesuai dengan perkiraan relativitas umum, jam yang di Bumi, yang di sini potensial gravitasinya lebih rendah, "terlambat" kira-kira 4,3 x 10^-10  sekon setiap sekon dibandingkan dengan jam yang mengorbit Bumi pada ketinggian kira-kira 10.000 km. 

3. Kontraksi Panjang

Kontraksi panjang adalah penyusutan panjang suatu benda akibat gerak relatif pengamat atau benda yang bergerak mendekati cepat rambat cahaya. Penyusutan panjang yang terjadi merupakan suatu fenomena yang berhubungan dengan pemekaran waktu. Panjang benda yang diukur dalam kerangka acuan di mana bendanya berada dalam keadaan diam disebut panjang patut (panjang benda menurut pengamat), l. Kita tinjau sebatang tongkat dalam keadaan diam di S' dengan satu ujung di x₂' dan ujung lainnya di x₁' , seperti pada Gambar 2.. Panjang tongkat dalam kerangka ini adalah l = x₂' – x₁'.

Gambar 2. Kontraksi panjang.

Untuk menentukan panjang tongkat di kerangka S, didefinisikan bahwa l = x₂ – x₁. Berdasarkan invers dari persamaan (18) akan diperoleh:

x₂' = γ (x₂ – vt₂) ................................................. (15)

dan

x₁' = γ (x₁ – vt₁) ................................................. (16)

Karena waktu pengukuran x₁ sama dengan waktu pengukuran x₂, maka t₁ = t₂, sehingga:

dengan l₀ adalah panjang benda sebenarnya, v adalah kecepatan benda, c adalah cepat rambat cahaya, dan l adalah panjang benda menurut pengamat. Adanya dilatasi waktu yang dipengaruhi oleh gerak benda relatif, akan memengaruhi pengukuran panjang. Panjang benda yang bergerak terhadap pengamat kelihatannya lebih pendek daripada panjang sebenarnya.

Contoh Soal 2 :

Sebuah tongkat dengan panjang 50 cm, bergerak dengan kecepatan v relatif terhadap pengamat dalam arah menurut panjangnya. Tentukan kecepatannya, jika panjang tongkat menurut pengamat adalah 0,422 m!

Penyelesaian:

Diketahui: 

l₀ = 50 cm = 0,5 m

l = 0,422 m

Ditanya: v = ... ?

Pembahasan :

Berdasarkan persamaan (17) maka kita dapat menentukan kecepatan benda, yaitu: